O Arquivo escreveu o Hamiltoniano: energia cinética do movimento relativo mais a atração coulombiana. Lia procurou funções ψ que, ao receber a ação desse operador, voltassem multiplicadas por uma energia E. Era um problema de autovalores em três dimensões.
Nem toda solução formal descrevia um estado ligado. A função precisava permanecer finita onde a teoria exigia, ser unívoca ao completar uma volta e ter integral de |ψ|² igual a um. No infinito, um estado ligado deveria decair suficientemente rápido. Essas condições eliminavam quase todas as energias negativas imagináveis.
As sobreviventes formavam valores discretos. Na aproximação não relativística de Coulomb, En era proporcional a −1/n². O nível n=1 era o mais ligado; à medida que n crescia, a energia aproximava-se de zero por baixo. Acima do limiar havia estados contínuos de ionização.
Em janeiro de 1926, Pauli submeteu uma derivação do espectro de Balmer com a nova mecânica matricial. Schrödinger obteve naquele ano os mesmos níveis pela mecânica ondulatória. A reconstrução documental não inventava uma corrida dialogada; as datas e os cálculos publicados bastavam.
A concordância não era coincidência entre receitas desconexas. Matriz e onda eram formulações equivalentes da nova mecânica. O hidrogênio serviu como teste decisivo porque suas linhas espectrais já eram conhecidas com precisão e o modelo de Bohr oferecia uma fórmula correta sem uma dinâmica geral satisfatória.
Tomás inseriu a massa reduzida na constante de energia. Usar 13,6 elétron-volts era uma aproximação conveniente; valores de alta precisão incluem recoil do núcleo, relatividade, spin, estrutura do próton e eletrodinâmica quântica. O átomo ‘mais simples’ continuava refinando a física.
Lia selecionou uma energia permitida. A sala não desenhou uma órbita correspondente; desenhou uma função normalizável. Quantização surgia de uma equação contínua submetida a condições globais, como uma corda que aceita apenas modos compatíveis — embora, ali, a onda fosse amplitude de probabilidade em três dimensões.