O orbital 1s surgiu como uma névoa esférica que decaía exponencialmente. Sua amplitude era proporcional a e^(−r/a0), onde a0 é o raio de Bohr corrigido pela massa reduzida. A densidade |ψ1s|² era máxima exatamente em r=0, junto ao núcleo.
Lia estranhou. Se a densidade era maior no centro, por que os livros chamavam a0 de distância mais provável? Tomás desenhou cascas esféricas. Uma casca de raio r e espessura dr tem volume aproximadamente 4πr²dr; perto da origem, esse volume encolhe para zero.
A probabilidade radial era 4πr²|ψ1s(r)|². O fator r² venceu o início da exponencial e fez a distribuição atingir seu máximo em r=a0. Assim, o ponto de maior densidade e a casca de raio mais provável não eram a mesma pergunta.
A probabilidade de encontrar o elétron exatamente num ponto ideal de um espaço contínuo é zero, mesmo onde a densidade é máxima. Probabilidades finitas pertencem a volumes. Dizer ‘o elétron está mais provavelmente no núcleo’ confunde densidade local com probabilidade de uma região sem volume.
Para estados s, a amplitude não precisa desaparecer no núcleo. Isso influencia efeitos sensíveis à densidade nuclear, como estrutura hiperfina e certas correções relativísticas. O próton real também possui tamanho finito; o potencial 1/r pontual é uma aproximação extremamente boa, não a palavra final.
Tomás comparou ⟨r⟩, o máximo da distribuição radial e a0. Para 1s, esses números relacionados não coincidem todos: a distância média é 3a0/2, enquanto o máximo radial é a0. Uma única expressão chamada ‘tamanho do átomo’ precisa declarar qual medida usa.
Lia atravessou a casca luminosa sem encontrar uma parede. A distribuição não tinha borda; decaía continuamente. O endereço quântico permitia regiões mais e menos prováveis, mas recusava o contorno rígido que ilustrações escolares às vezes desenham ao redor do átomo.