A escadaria circular de Bohr reapareceu no centro da sala. Desta vez, porém, o elétron não era uma conta deslizando por um arame. Uma faixa ondulada contornava o círculo. Quando Lia ajustava seu comprimento, a última crista precisava encontrar a primeira sem degrau, corte ou inversão.
Uma circunferência de raio r comporta um número inteiro n de comprimentos de onda quando 2πr=nλ. Se sobrasse meia crista ao completar a volta, a onda não retornaria com a mesma fase e interferiria destrutivamente consigo mesma. Apenas certos comprimentos de onda formavam padrões estacionários consistentes naquele contorno.
Substituindo λ=h/p, a condição se tornava 2πr=nh/p. Reorganizada, dizia pr=nħ. Para uma órbita circular clássica, pr é o módulo do momento angular. A regra que Bohr havia postulado, L=nħ, surgia então como uma condição de fechamento da onda associada ao elétron.
Lia sentiu a satisfação perigosa de uma imagem que explica demais. A faixa ao redor do núcleo tornava os inteiros naturais: uma volta completa aceita uma, duas ou três ondulações, não duas e um quarto se a fase deve se fechar. Era uma pista poderosa de por que a quantização podia emergir de condições de contorno em vez de ser apenas um decreto numérico.
Ainda assim, o círculo permanecia parte da antiga teoria quântica. A mecânica quântica posterior não descreve o elétron do hidrogênio como uma onda material presa a uma única órbita circular. Ela resolve uma função de onda no espaço, com orbitais tridimensionais, números quânticos e probabilidades. O estado fundamental moderno tem momento angular orbital zero, detalhe que não cabe na órbita circular mínima de Bohr.
A analogia da corda fechada preservava algo verdadeiro: condições de contorno selecionam modos discretos, assim como uma corda de violão aceita frequências específicas quando suas extremidades estão fixas. Ela quebrava quando a corda era tomada como trilho físico e o modo como trajetória de uma partícula. Um padrão estacionário não é um objeto correndo pela linha que ele mesmo desenha.
Tomás retirou o círculo, mas deixou os nós. Em problemas futuros, caixas, poços, átomos e moléculas teriam energias discretas porque nem toda forma de estado satisfaz as equações e suas condições de contorno. De Broglie não completara essa mecânica, mas mostrara por que inteiros e ondas poderiam pertencer à mesma frase.