Lia escreveu α=r₀e^{iφ₀} e β=r₁e^{iφ₁}. As medidas em z enxergavam r₀² e r₁², mas não cada ângulo separadamente. Ainda assim, a diferença φ₁−φ₀ alterava resultados depois de uma rotação adequada.
Multiplicar o estado inteiro por e^{iγ} não mudava nenhuma probabilidade: |ψ⟩ e e^{iγ}|ψ⟩ representavam o mesmo raio físico. Essa fase global era redundância de descrição. A fase relativa entre componentes era observável por interferência.
O Arquivo comparou |+⟩=(|0⟩+|1⟩)/√2 e |−⟩=(|0⟩−|1⟩)/√2. Ambos davam 0 e 1 meio a meio na base z. Aplicar Hadamard transformava o primeiro em |0⟩ e o segundo em |1⟩, convertendo uma diferença de sinal em diferença determinística.
Tomás proibiu somar probabilidades cedo demais. Para alternativas indistinguíveis, somam-se amplitudes e depois calcula-se o módulo ao quadrado. O termo cruzado contém a fase relativa. Para alternativas distinguíveis ou decoeridas, a contabilidade reduzida perde esse termo e probabilidades somam sem franja.
A analogia com ponteiros de relógio ajudava: números complexos têm módulo e ângulo, e vetores podem reforçar ou cancelar. Seu limite era que amplitudes não são setas mecânicas girando dentro do qubit; são componentes de um estado numa base e mudam sob transformação unitária.
Erros de fase podiam ser tão destrutivos quanto inversões de bit. Um qubit que deveria estar em |+⟩ e acumula fase π torna-se |−⟩, invisível numa medida z isolada e completamente visível depois do segundo Hadamard. Diagnóstico exige escolher a base certa.
Lia guardou o ângulo até a última porta. Programar seria coreografar fases para que respostas indesejadas cancelassem e desejadas se reforçassem. A medição final veria probabilidades, mas o trabalho computacional ocorreria na geometria complexa anterior.