Tomás entregou a Lia um observável com dois resultados: −1 e +1. O estado atribuía probabilidade igual a ambos. O valor esperado era zero. Lia procurou o detector marcado zero, mas ele não existia. Cada tentativa devolvia −1 ou +1; zero surgia apenas como média de muitas repetições.
Para resultados discretos, o valor esperado é ΣₙaₙP(aₙ). Na linguagem de operadores, escreve-se ⟨A⟩=⟨ψ|Â|ψ⟩. Essa forma compacta combina a decomposição em autovalores com a regra de Born e funciona sem escrever explicitamente a base quando o operador é conhecido.
Uma média não caracteriza toda a distribuição. Duas preparações podem compartilhar o mesmo valor esperado e ter dispersões muito diferentes. A variância ⟨A²⟩−⟨A⟩² mede a largura quadrática dos resultados e será essencial para formular incertezas.
Lia comparou uma distribuição concentrada em zero com outra dividida entre extremos simétricos. Ambas tinham média zero; uma quase nunca se afastava, a outra nunca caía no centro. Relatar apenas ⟨A⟩ apagaria a diferença física que qualquer sequência de dados mostraria.
O valor esperado também não precisa ser um autovalor permitido. Posição média pode cair entre regiões onde a partícula raramente é encontrada; spin médio pode apontar numa direção sem que uma medição individual naquele eixo devolva qualquer valor intermediário. A média pertence ao conjunto estatístico.
Tomás executou cem tentativas e a média ainda oscilou ao redor do previsto. Em mil, aproximou-se mais. A lei dos grandes números explica a convergência probabilística, não uma obrigação de cada lote pequeno reproduzir exatamente as proporções teóricas.
Lia anotou três níveis de afirmação: resultados possíveis são dados pelo observável; pesos são dados pela regra de Born; médias e variâncias resumem a distribuição. Confundir esses níveis transformaria uma previsão estatística precisa numa profecia errada sobre um único evento.