Duas portas surgiram no mapa. Na primeira rota, Lia multiplicou o estado pela posição x e depois aplicou o operador momento. Na segunda, inverteu a ordem. Os resultados não coincidiram. A diferença entre as rotas era o comutador [x̂,p̂]=x̂p̂−p̂x̂.
Para posição e momento canônicos, esse comutador vale iħ. A ordem importa por uma quantidade fixa. Não se tratava de botões mecânicos que emperravam um ao outro, mas da álgebra dos operadores que representam as duas perguntas no espaço de estados.
Em 1929, Howard Percy Robertson formulou uma relação geral: o produto ΔAΔB é pelo menos metade do módulo do valor esperado do comutador [Â,B̂]. Inserir [x̂,p̂]=iħ recupera ΔxΔp≥ħ/2. A desigualdade de posição e momento era um caso decisivo de uma estrutura mais ampla.
Tomás esboçou a prova. Aplicou a desigualdade de Cauchy–Schwarz aos vetores produzidos pelos desvios Â−⟨A⟩ e B̂−⟨B⟩. A parte imaginária do produto interno trouxe o comutador. O limite não dependia da qualidade do microscópio; nascia da geometria do espaço de Hilbert.
Se dois operadores comutam, essa forma não impõe um piso positivo e estados conjuntos bem definidos podem existir. A recíproca exige cuidado: um valor esperado de comutador igual a zero em certo estado pode tornar o limite de Robertson trivial mesmo quando os operadores não comutam em geral. Relações mais fortes podem continuar informativas.
Lia viu por que ‘não podemos saber tudo’ era uma legenda ruim. Algumas observáveis compatíveis podem ser especificadas juntas; outras têm limites dependentes do estado e de sua álgebra. A teoria não distribui névoa por todas as quantidades, mas desenha uma arquitetura precisa de compatibilidades.
O sinal iħ entre as portas tornou-se uma dobradiça. No capítulo seguinte, componentes diferentes do spin também recusariam uma descrição simultânea simples. Antes disso, porém, o Arquivo exigia que Lia enfrentasse a imagem histórica mais famosa — e mais frequentemente confundida — do princípio.