Em 1928, Felix Bloch estudou elétrons num potencial cristalino periódico. Se deslocar pela rede não mudava o Hamiltoniano, os estados podiam ser escritos como uma onda plana e^{ik·r} multiplicada por uma função uk(r) com a periodicidade da rede.
O vetor k era quase-momento ou momento cristalino. Ele organizava como a fase mudava entre células, mas não era sempre igual ao momento mecânico de uma partícula livre. Colisões com a rede podiam conservá-lo apenas módulo um vetor da rede recíproca.
Lia atravessou uma célula e viu a mesma textura reaparecer com fase diferente. O teorema de Bloch reduzia um cristal infinito ao estudo de uma célula e das condições de contorno no espaço recíproco.
Estados k e k+G, onde G é vetor recíproco, representavam o mesmo rótulo físico de fase translacional. Por isso bastava uma primeira zona de Brillouin. Suas bordas surgiam onde reflexões de Bragg misturavam ondas.
A velocidade de grupo era (1/ħ)∇kE. Uma banda plana produzia portadores pesados e lentos; uma banda curva, resposta diferente. Massa efetiva resumiria a curvatura local, podendo até ter sinal que favorecia a linguagem de buracos.
Tomás lembrou que Bloch tratava um potencial efetivo de uma partícula. Elétrons reais interagem. Teoria de bandas independente funciona de modo extraordinário em muitos sólidos, mas correlação forte pode exigir estados coletivos além dela.
A onda atravessou o cristal sem escolher um átomo proprietário. Lia viu a tradução virar simetria quântica. O mar metálico começava como uma família de fases permitidas pela repetição da rede.